Метод коллокации

1.10.1. Методические указания

Метод коллокации относится к приближенным проекционным методам, применяется к граничной задаче

; (10.1)

(10.2)

В качестве решения берется линейная комбинация базисных функций:

, (10.3)

так что

(10.4)

Выбранное решение подставляется в дифференциальное уравнение (10.1) и определяется невязка

. (10.5)

Подбираются такие ci, чтобы невязка обращалась в нуль в выбранных точках заданного интервала, которые называются точками коллокации. Получается система уравнений для определения коэффициентов ci.

(10.6)

где xi - выбранные точки коллокации.

После решения системы уравнений найденные ci подставляются в решение (10.3).

1.10.2. Порядок выполнения работы

1. Составьте программу метода коллокации со следующими своиствами:

- базисные функции задаются с терминала, они должны быть линейно независимые и в соответствии с граничными условиями удовлетворять требованиям (10.4);

- точки коллокации также задаются с терминала, их количество должно совпадать с n – количеством c_i коэффициентов в сумме решения (10.3);

- в зависимости от количества точек коллокации формируется система алгебраических уравнений (10.6) для определения c_i;

- решение получается в виде функции приближения (10.3), разбив интервал аргумента несколькими узлами, вычисляют по функции (10.3) таблицу решения;

- заданная точность решения достигается сравнением решений при n слагаемых в (10.3) и n +1 слагаемых, если они отличаются меньше, чем на , то можно ограничиться таким рядом.

2. Получите решение в соответствии с вариантом табл. 1.5, получите приближенное решение в виде функции и таблицу решений.

3. Ответьте на вопросы:

1. Какими свойствами должны обладать базисные функции? Какие функции выбраны?

2. Что такое точки коллокации?

3. Как выдержать заданную точность решения?

Таблица 1.5

Вари-анты	Уравнение	f(x)	Граничные условия	Указания по точкам коллокации
		x