Метод прогонки для уравнения теплопроводности

2.3.1. Методические указания

Для уравнения теплопроводности

(3.1)

с граничными условиями

; ; ; (3.2)

строится сетка с шагами h и k:

; (i, j=0, 1, 2…).

Шаблон выбирается в виде неявной схемы (рисунок 2.2)

Рисунок 2.2

Дифференциальное уравнение (3.1) заменяется конечно-разностными уравнениями в соответствии с выбранным шаблоном.

, (3.3)

где - масштабный коэффициент для шагов h и k.

При этом граничные условия (3.2) принимают вид

; . (3.4)

Метод прогонки позволяет работать с ненулевыми элементами трехдиагональной матрицы системы уравнений (3.2); (3.3). Здесь осуществляется прямой ход для определения вспомогательных коэффициентов ; и обратный ход для получения решения .

Для начала прямого хода коэффициенты считаются по формулам

(3.5)

Для обратного хода вычисление функции

(3.6)

Вычисленные значения по (3.6) дают таблицу решения для одного слоя.

2.3.2. Порядок выполнения работы

1. В соответствии с заданным вариантом табл. 2.3 составьте программу метода прогонки и подготовьте данные.

2. Проведите расчет и получите таблицу решений.

3. Ответьте на вопросы:

1. В чем преимущество метода прогонки?

2. Как выбрать масштабный коэффициент?

3. Каково условие устойчивости данной схемы метода прогонки?

4. Как выполняется прямой и обратный ход, по слоям оси y или сразу на всем отрезке оси y?

Таблица 2.3

№ варианта
			0, 932
		0, 2
			0, 354
		0, 2
			0, 581
		0, 3
		0, 939
			0, 844