Метод Ритца

2.5.1. Методические указания

Рассматривается краевая задача для уравнения Лапласа

(5.1)

; , (5.2)

где - простой замкнутый контур, ограничивающий область G,

- непрерывная функция на .

Задача (5.1), (5.2) заменяется вариационной задачей определения функции , которая является также решением задачи (5.1), (5.2).

Решение в методе Ритца ищется в виде ряда, состоящего из линейной комбинации базисных функций. Система базисных функций должна удовлетворять граничным условиям

(5.3)

Приближенное решение для вариационной задачи

(5.4)

ищется в виде

. (5.5)

Коэффициенты определяются из системы линейных алгебраических уравнений

(5.6)

где обозначено

. (5.7)

Для вычисления интегралов подобного типа можно применить кубатурную формулу Симпсона.

Для интеграла (5.8)

область G интегрирования разбивается на 4 квадрата (рисунок 2.3)

Рисунок 2.3

Значение интеграла определяется по формуле

(5.9)

После вычисления интеграла составляется система (5.6) и определяются коэффийиенты , постановка которых в (5.5) дает приближенное решение вариационной задачи.

2.5.2. Порядок выполнения работы

1. Подготовьте исходные данные в соответствии с вариантом табл. 2.5. Подберите систему базисных функций, линейно-независимых и удовлетворяющих условию (5.3).

Составьте программу, в которой включаются определение интегралов для системы (5.6) и решение системы (5.6) методом Гаусса. Количество слагаемых в ряде (5.5) должно быть не менее 3 и уточняется по заданному .

2. Проведите расчет методом Ритца. В результате на терминал должно выдаваться приближенное решение в виде ряда (5.5).

Подставьте в него координаты узлов сетки и получите таблицу численного решения.

3. Ответьте на вопросы:

1. Каким свойствам должны удовлетворять базисные функции?

2. Каково условие устойчивости метода Ритца?

3. Как проверить заданную допустимую погрешность?

4. Почему возможна замена задачи (5.1), (5.2) вариационной задачей?

Таблица 2.5

№ варианта	Значение на границе ,	Граница области
a	b	c	d
x	y	x	y	x	y	x	y