Метод Монте-Карло. 2.4.1. Методические указания

2.4.1. Методические указания

Рассматривается уравнение Лапласа

(4.1)

в области G, представляющей квадрат ABCD с вершинами A(0, 0); B(0, 2); C(2, 2); D(2, 0).

Шаг h=0, 2. На область G накладывается сетка

; (i, j=0, 1, 2…).

В методе моделируются случайные блуждания части по узлам сетки, пока она не попадет на границу области . Случайные блуждания генерируются датчиком случайных чисел 0÷ 9. Таблица генерации приведена в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Случайное число	Перемещение	Описание перемещений
0 4 1 5 2 6 3 7 8 9		Шаг вправо Шаг вверх Шаг влево Шаг вниз Частица на месте

При достижении границы заданной области фиксируется значение функции на границе.

При переходе от дифференциального уравнения (4.1) к конечно-разностному для определения функции в узлах сетки внутри области G применялась схема

; (4.2)

,

где - значение функции в граничной точке (p, q).

Искомые неизвестные можно рассматривать как математическое ожидание функции на границе для траекторий блуждающей точки , начинающей блуждание в точке (i, j) и принимающей значение в граничной точке.

Замена математического ожидания эмпирическим дает формулу

, (4.3)

где (p, q) – граничные точки;

N – количество блужданий для точки , которая начала блуждание в (i, j) и закончила в .

После проведения N блужданий для данного узла сетки рассчитывается значение функции в этом узле по (4.3). Для расчета не требуется значение функции в соседних точках.

2.4.2. Порядок выполнения работы

1. Составьте программу метода Монте-Карло задайте число выриантов блужданий для каждого внутреннего узла сетки. В программе используйте датчик случайных чисел.

2. Используя таблицу 2.1 проведите расчет, получите таблицу решений.

3. Ответьте на вопросы

1. Какие достоинства и недостатки метода Монте-Карло?

2. Является ли метод самостартующим?