Метод конечных элементов

2.6.1. Методические указания

Метод конечных элементов является модификацией метода Ритца. Здесь также граничную задачу математической физики заменяют вариационной.

Так, для уравнения Пуассона

, (6.1)

где ищется решение в замкнутой области G, удовлетворяющее граничным условиям на границе :

. (6.2)

Эквивалентная вариационная задача имеет вид

(6.3)

Замкнутая область G разбивается на элементы с учетом ожидаемых свойств решения. Простейшим элементом является треугольник. Вершины треугольника нумеруются таким образом, чтобы матрица системы алгебраических уравнений была близка к трехдиагональной. В каждом элементе i–й узел помещают в первой вершине, j–й и k–й располагают против часовой стрелки.

Решение вариационной задачи (как в методе Ритца) в виде линейной комбинации базисных функций

, (6.4)

где - базисные функции;

- коэффициенты Ритца.

Базисные функции в конечном элементе принимают значение «единица» в вершине i треугольника и в других вершинах j и k принимают заначение «нуль», а также равны нулю на других треугольниках.

Для узловых точек данного треугольника i, j, k координатные базисные функции имеют вид

, где

(6.5)

, где

(6.6)

, где

(6.7)

А – площадь треугольника

. (6.8)

Такой выбор базисных функций дает свойство, что значения искомой функции в вершинах треугольника совпадают с коэффициентами Ритца.

Условием экстремума функционала (6.3) является равенство нулю его градиента

. (6.9)

Функционал представим как сумму функционала на конечных элементах

, (6.10)

где L – количество элемента разбиения области G.

Для первого элемента компоненты градиента

(6.11)

где m - количество узлов в элементе при разбиении области G на элементы.

Уравнение (6.9) может быть сведено к матричному уравнению для l – го элемента

. (6.12)

Матрица В для 1-го элемента имеет вид по (6.11)

. (6.13)

Матрицу дополняют нулями до матрицы и транспонируют для вычисления матрицы жесткости для l – го элемента

. (6.14)

Правая часть матричного уравнения (6.12) вычисляется с помощью формулы расчета интегралов для L – координат.

С помощью суммирования матриц (6.12) для l – го элемента получают общую систему уравнений для определения вектора коэффициентов Ритца.

, (6.15)

где - общая матрица жесткости;

- вектор коэффициентов Ритца;

- вектор нагрузки.

Решение системы (6.15) дает вектор коэффициентов Ритца, который совпадает с решениями задачи (6.1), (6.2).

2.6.2. Порядок выполнения работы

1. Для уравнения кручения стержня

(6.16)

подготовьте разбиение области G на конечные элементы.

Здесь: - модуль сдвига материала ;

- угол закручивания на единицу длины .

Область G представляет квадрат со сторонами, заданными в табл. 2.6.

Составьте вручную систему уравнений (6.15) для вычисления коэффициентов Ритца.

2. Составьте программу для решения системы (6.15) с вводом вычисленных исходных данных. По желанию возможно также составление программы подготовки матричного уравнения (6.15).

Проведите расчет, получите таблицу решений.

Таблица 2.6

3. Ответьте на вопросы:

1. Что такое конечный элемент?

2. Что такое L – координаты? Для чего они применяются в методе конечных элементов?

3. Из каких соображений производится нумерация узлов при разбиении заданной области на элементы?

4. Какими свойствами обладают базисные функции в методе конечных элементов?

5. Правомерна ли замена дифференциального уравнения (6.1) на вариационную задачу (6.3)?

6. Что такое матрица жесткости и вектор нагрузки? Откуда такая терминология?