Уравнение Бернулли

Решение уравнений Эйлера (1.21) для установившегося потока идеальной жидкости приводит к широко используемому уравнению гидродинамики: уравнению Бернулли, которое представляет собой частный случай закона сохранения энергии. При движении жидкости по трубопроводу без дополнительного подвода энергии или ее отвода удельная энергия жидкости, по закону сохранения энергии, остается неизменной. Согласно уравнению Бернулли, для установившегося потока идеальной капельной жидкости сумма удельных энергий положения (z), давления () и удельной кинетической энергии () одинакова для любого поперечного сечения потока:

(1.22)

Уравнение (1.22) представляет собой уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

В частности для сечений 1-1 и 2-2:

.

(1.23)

Каждое слагаемое в уравнении Бернулли (1.22) выражается в метрах столба движущейся жидкости и называется, соответственно, геометрическим, пьезометрическим и скоростным (динамическим) напорами. Так

.

Сумма называется гидродинамическим напором. Согласно уравнению Бернулли, для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости величина гидродинамического напора остаётся постоянной.

На рис.1.4 показано, что с помощью пьезометрической трубки энергия давления (напор) может быть измерена. Она равна высоте, на которую под действием давления поднимется жидкость ; Аналогично можно измерить геометрический и скоростной напоры. Для горизонтального трубопровода (рис. 1.4) при проведении плоскости сравнения по оси потока (z=0) уравнение Бернулли примет вид:

.

Рис.1.4 К выводу уравнения Бернулли для горизонтального потока:

1 - трубопровод; 2 – пьезометрическая трубка; 3 – трубка для измерения суммарного напора (статического и скоростного)

Реальная жидкость обладает вязкостью. Поэтому в правую часть уравнения Бернулли (1.23) вводится дополнительное слагаемое , учитывающее потерю энергии (напора), на преодоление гидравлического сопротивления между сечениями. Тем самым сохраняется равенство (баланс) напоров (или энергий) в любом сечении потока

.

(1.24)

Таким образом, при установившемся движении вязкой жидкости сумма геометрического, пьезометрического, скоростного и потерянного напоров в каждом сечении потока есть величина постоянная и равная общему гидродинамическому напору H (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Графическая интерпретация уравнения Бернулли

Гидравлическое сопротивление обусловлено вязкостью жидкости, трением жидкости о шероховатые стенки трубы и местными сопротивлениями , возникающими при изменении скорости потока, или его направления. Таким образом, . Потеря напора на трение пропорциональна скоростному напору и определяется по уравнению Дарси-Вейсбаха:

,

(1.25)

где - коэффициент трения, зависящий от критерия Re и шероховатости труб (безразмерный); - длина трубы, м; - эквивалентный диаметр трубы, м.

Для потери давления (с учётом того, что )

.

(1.26)

Потеря напора на местные сопротивления:

,

(1.27)

где - сумма местных сопротивлений, находится в [1].

К местным сопротивлениям относятся вход и выход потока в трубу и из неё, внезапное сужение и расширение труб, отводы, колена, запорные и регулирующие устройства (краны, вентили, задвижки) и др.

Так как все напоры имеют размерность длины, то на рис. 1.5 (для трубопровода переменного сечения) они представлены вертикальными отрезками, а их сумма – гидродинамический напор, представлен отрезком H. Сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров называется гидродинамическим напором.