Уравнения расхода

Рассмотрим движение жидкости по трубе постоянного поперечного сечения. Жидкость перемещается по трубопроводам и аппаратам вследствие перепада давления, создаваемого разностью уровней жидкости или работой насосов. Вследствие влияния сил вязкости (трения) скорость частиц жидкости в разных точках поперечного сечения потока неодинакова: по оси потока она максимальна, а у стенок трубы практически равна нулю. В инженерных расчётах обычно используют среднюю скорость.

Уравнения объёмного (V) и массового (М) расходов имеют вид:

м3/с, , кг/с,

(1.31) (1.32)

где - средняя скорость жидкости, м/с; F - площадь поперечного сечения потока, ; - плотность жидкости кг/м³.

Массовая скорость W – это количество жидкости, протекающей через единицу поперечного сечения в единицу времени:

.

(1.33)

Зависимость между массовой и линейной скоростями выражается равенством:

.

(1.34)

Для трубопровода круглого сечения (см. рис.) .

Диаметры труб, по которым течет жидкость или газ, указываются с учетом толщины стенки, например, d=25× 2, 5 мм. Внутренний диаметр трубы, по которой движется поток, будет равен d_В=25-2, 5·2=20 мм.

Уравнение неразрывности (сплошности потока)

Если жидкость протекает по трубопроводу переменного сечения (без отводов и разветвлений), то приход ее массы в сечение 1 (рис. 1.7) , а в сечение 2:

При установившемся режиме . Следовательно: = . Если жидкость несжимаема (), то = или

(1.35)

Рис.1.7. К выводу уравнения неразрывности

потока жидкости

В установившемся потоке жидкости средние по сечениям скорости обратно пропорциональны площадям этих сечений, а уравнение неразрывности потока (1.35) выражает закон сохранения массы.

Дифференциальные уравнения движения реальной жидкости (уравнения Навье-Стокса)

При движении реальной жидкости по трубопроводу или аппарату на нее действуют силы тяжести, давления и внутреннего трения (вязкости). В соответствии со вторым законом Ньютона сумма всех действующих в потоке сил равна произведению его массы на ускорение. Дифференциальные уравнения движения реальной (вязкой) жидкости по осям координат имеют вид:

, (1.36)

Здесь, например, для оси x:

- сумма вторых производных скорости по осям координат (оператор Лапласа).

- полная производная скорости по времени (субстанциональная производная).

Уравнения (1.36) представляют собой дифференциальные уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой жидкости в трубах, каналах и аппаратах.

При движении идеальной жидкости (), мы получим уравнения движения Эйлера (1.21), как частный случай уравнений Навье-Стокса. Если идеальная жидкость находится в состоянии покоя (), то получим уравнения равновесия Эйлера (1.17).

Если систему уравнений Навье-Стокса дополнить уравнением сплошности (неразрывности) потока, то получим полное описание движения вязкой жидкости. Уравнения Навье-Стокса (1.36) не могут быть решены в общем виде аналитически. Получены решения этой сложной системы уравнений только для некоторых простых частных случаев.