Признак Коши в предельной форме.

Если $ =L, то при L< 1 ряд сходится, при L> 1 ряд расходится, при L=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство. Если L< 1, то $e> 0: L< 1-2e=> L+e< 1-e. Т.к. $ =L, то $N: L-e< < L+e< 1-e=q< 1, k³ N, q< 1=> |a_k|< q^k, т.е. ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q< 1. n

Аналогично доказывается расходимость ряда при L> 1.

п.2. Функциональные ряды.

Пусть дана последовательность , zÎ g. Выражение - называется функциональным рядом, заданным в g.

Определеие. Если при " zÎ g, соответствующий числовой ряд сходится к определенному комплексному числу w(z), то в g определена f(z)=w, которая называется суммой функционального ряда, а сам ряд называется сходящимся в g.

Если ряд сходится в g, то " e> 0 $N(e, z): для " n³ N(e, z) ï r_n(z)ï < e.

Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши: для " e> 0 $N(e, z): для " n³ N и " m> 0ï S_n+m(z)-S_n(z)ï < e.

Вообще говоря, в каждой точке zÎ g N свое N(e, z) и общего N для всей z может и не существовать.

п.3. Равномерная сходимость.

Если для " e> 0 $N(e) что для " n³ N(e) и " z одновременно ï r_n(z)ï < e, то ряд. => f(z) называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g.

Понятие равномерной сходимости- глобальное.

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости - критерий Коши:

Если для " e> 0 $N(e): для " n³ N и " m> 0 и " z одновременно ï S_n+m(z)-S_n(z)ï < e, то ряд => f(z).