Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Доказательство
|
|
1. Рассмотрим " `g’Ì g и L- замкнутый контур: LÌ `g’, стягивающийся в точку zÎ `g’. Т.к. uk(z) Î С¥ (g) и 
=> f(z), для " zÎ `g’ => f(z)Î C(`g’) (по Свойству 1). По свойству 2 ò Lf(z)dz= 
ò L uk(z)dz= =(по теореме Коши – интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции) = 
=0. Тем самым выполнены условия теоремы Морера => f(z)Î C¥ (`g’). => в силу произвольности " `g’ => f(z)Î C¥ (g).
Замечание. Т.к. rn(z)=f(z)- Sn(z) => rn(z)Î C¥ (g).
2. Рассмотрим " `g’Ì g и L- замкнутый контур: LÌ `g’, стягивающийся в точку zÎ `g’. Т.к. f(z)Î C¥ (g), то f(p)(z)= 
=(т.к. uk(x)|xÎ L=> f(x)|xÎ L => 
)= 
= 
.
Замечание. rn(p)(z)=f(p)(z)-Sn(p)(z)= .
3. Рассмотрим " `g’Ì g и L- замкнутый контур, содержащий`g’ внутри, и такой, что для " zÎ `g’ и " xÎ L |z-x|> d0. rn(p)(z)= 
. |rn(x)|< e’, n³ N(e’) (т.к. L граница замкнутой подобласти g”Ì g). |rn(p)(z)|£ 
< e для " zÎ `g’ => uk(p)(z)=> f(p)(z), для " zÎ `g’Ì g, " `g’Ì g.
n
Замечание. Даже если uk(z)=> f(z) zÎ `g, то все равно мы можем доказать равномерную сходимость ряда из производных лишь в любой замкнутой подобласти `g’ области g. Т.е. => f(p)(z), лишь для " zÎ `g’Ì g, " `g’Ì g. Из равномерной сходимости ряда => f(z) zÎ `g не следует! равномерная сходимость в этой области ряда составленного из производных.!
Пример. 
сходится равномерно в круге |z|£ 1, а ряд из производных 
не может равномерно сходится в круге |z|£ 1, т.к. он расходится при z=1.=> равномерно сходится при |z|< 1.
II Теорема Вейерштрасса. Пусть uk(z) Î С¥ (`g) и uk(x)=> f(x), для xÎ ¶g. Тогда => f(z), zÎ `g.
Доказательство Рассмотрим Sn+m(x)-Sn(x). Разность частичных сумм есть конечная сумма аналитических функций, т.е. является аналитической в g и непрерывной в `g. Тогда из равномерной сходимости => ï Sn+m(x)-Sn(x)ï < e для " xÎ ¶g => ï Sn+m(z)-Sn(z)ï < e для " zÎ `g – в силу принципа максимума модуля аналитической функции. Значит для данного ряда выполнен Критерий Коши. n
§11. Степенные ряды.
Степенным рядом назовем ряд вида 
cn(z-z0)n, z0-центр, cn- коэффициенты заданные комплексные числа. При z= z0 ряд сходится. Это может быть как единственная точка сходимости n! zn, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости zn/n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов cn.
Теорема Абеля. Если степенной ряд cn(z-z0)n сходится в точке z1¹ z0, то он сходится и при " z: |z-z0|< |z1-z0|, причем в круге |z-z0|£ r< |z1-z0| сходится равномерно.
Доказательство. В силу необходимого условия сходимости ряда $A> 0: для " n |cn(z1-z0)n|< A => |cn|< A/|z1-z0|n => | cn(z-z0)n|< A |(z-z0)/(z1-z0)|n. По условию теоремы |(z-z0)/(z1-z0)|=q< 1=> | cn(z-z0)n|< A qn=> ряд сходится. При |z-z0|£ r< |z1-z0| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. | cn(z-z0)n|£ A |r/(z1-z0)|n < A qn, q< 1 n.