Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Следствия теоремы Абеля.
|
|
1. Если степенной ряд расходится в точке z2¹ z0, то он расходится и при " z: |z-z0|> |z2-z0|. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в " круге радиуса r< |z-z0|, в частности и в точке z2, что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z1-z0|=R для " z1, где ряд сходится- точную верхнюю грань расстояний от точки z0 до точек z1 в которых сходится ряд 
cn(z-z0)n. Если R¹ ¥, то для
" z2: |z2-z0|> R ряд расходится. R=inf|z2-z0|=R для " z2, где ряд расходится. Пусть R> 0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z0|< R - круг сходимости степенного ряда, число R> 0- радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне- расходится, в точках границы |z-z0|=R может как сходится, так и расходится.
3. Формула Коши-Адамара. R=1/l, l= 
.
Доказательство. Пусть 0< l< ¥. Имеем:
1) Т.к. l= , то для " e> 0 $N, что для " n³ N 
< l+e.
2) С другой стороны, для того же " e> 0 $ ¥ много членов последовательности { }: > l-e.
Надо доказать:
a) Для " z1: |z1-z0|< R=1/l (или что то же самое l|z1-z0|< 1) ряд сходится.
b) Для " z2: |z2-z0|> R=1/l (l|z1-z0|> 1) ряд расходится.
Докажем это.
a) Возьмем произвольную z1: l|z1-z0|< 1 и выберем e=(1-l|z1-z0|)/2|z1-z0|, тогда l+e=(1+l|z1-z0|)/2|z1-z0|. Т.к. для " n³ N: < l+e=>
=> |z1-z0| < (1-l|z1-z0|)/2=q< 1. => |cn(z1-z0)n|< qn- ряд сходится.
b) Выберем e=(l|z2-z0|-1)/|z2-z0| => l-e=1/|z2-z0|. Т.к. для ¥ числа членов > l-e => |z2-z0| > 1=> |cn(z2-z0)n|> 1- ряд расходится. n
Случай l=0 (§) : " e> 0 $N, что для " n³ N < e. Положим для " z и 0< q< 1
e=q/|z-z0| => |z-z0| < q => |cn(z1-z0)n|< qn- ряд сходится для " z, т.е R=¥ =1/0=1/l.
Случай l=¥ (§) : для " M> 0 $ ¥ много членов { }: > M.
" e> 0 $N, что для " n³ N < e. Положим для " z¹ z0 и q> 1
M=q/|z-z0| => $ ¥ много членов |z-z0| > 1 => |cn(z1-z0)n|> 1- ряд расходится для " z¹ z0, т.е R=0=1/¥ =1/l.
4. В " круге |z-z0|£ r< R степенной ряд сходится равномерно (по Мажорантному признаку Вейерштрасса). Значит, по теореме Вейерштрасса cn(z-z0)n=f(z)Î C¥ (|z-z0|< R).
5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!!!
6. cn(z-z0)n=f(z)=> c0=f(z0), 
cnn(z-z0)n-1=f'(z)=> c1=f'(z0)…
cnk! (z-z0)n-k=f(k)(z)=> ck=f(k)(z0)/k!
7. Пример. (z-z0)n: " cn=1 => R=1. Sn=[1-(z-z0)n+1]/[1-(z-z0)]; |z-z0|< 1 и 
Sn=1/[1-(z-z0)]. => (z-z0)n=1/[1-(z-z0)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.
Итак cn(z-z0)n=> f(z)Î C¥ (|z-z0|< R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?
Ответ на этот вопрос дает
Теорема Тейлора. Если f(z)Î C¥ (|z-z0|< R), то $! степенной ряд cn(z-z0)n=> => f(z) при |z-z0|< R.
Доказательство. Возьмем " z: |z-z0|< R и построим CR' с центром в точке z0 и содержащую точку z внутри: для " xÎ CR' : |x-z0|=R', R'< R, |x-z0|> |z-z0|. Т.к. f(z)Î C¥ (|z-z0|< R'), то по формуле Коши
f(z)= 
.; 1/(x-z)=1/[(x-z0)-(z-z0)]= = 
ряд сходится равномерно по x на CR'=>
=> f(z)= 
(z-z0)n= cn(z-z0)n;
cn= 
=f(n)(z0)/n! (*), что и доказывает $ и единственность разложения. n
Замечания. 1) Разложение функции f(z)= cn(z-z0)n называют разложением функции в ряд Тейлора.
2) По теореме Коши cn= 
, где C- произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z0. Т.е. контур в формуле (*) можно заменить на любой замкнутый контур C, содержащий внутри себя точку z0 и целиком лежащий в области сходимости ряда.
3) В " круге |z-z0|£ r< R степенной ряд сходится равномерно (по Мажорантному признаку Вейерштрасса)
4) Радиус сходимости ряда Тейлора 
§12. Единственность определения аналитической функции.
п.1. Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.
Точка z0Î g называется правильнойточкой функции f(z), заданной в g, если $ сходящийся к f(z) ряд cn(z-z0)n=f(z) в области gÇ |z-z0| < r(z0), где r(z0)> 0 -радиус сходимости степенного ряда.
Все остальные точки zÎ g- особые точки функции f(z), заданной в g.
Замечание. Если f(z)Î C¥ (g), то все zÎ g- правильные точки f(z). Если f(z) задана в `g, то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми. Очевидно, что все точки границы, лежащие внутри круга сходимости степенного ряда Тейлора, являются правильными точками.
п.2. Нули аналитической функции.
f(z)Î C¥ (g); f(z0)=0, z0Î g - z0 - нуль аналитической функции. f(z)= cn(z-z0)n => c0=0. Если c1=…= cn-1=0, а cn¹ 0, то z0 - нуль n-того порядка.
Заметим, что в нуле n-того порядка f(z0)=f'(z0)=… f(n-1)(z0)=0, f(n)(z0)¹ 0 и
f(z)=(z-z0)n f1(z), f1(z0)¹ 0.