Доказательство.

Необходимость. Пусть ряд сходится равномерно => f(z): " e> 0 $N(e) что ï f(z)-S_n(z)ï < e/2 для " n³ N(e) и " zÎ g=> и подавно ï f(z)-S_n+m(z)ï < e/2=> => ï S_n+m(z)-S_n(z)ï < e для " n³ N и " m> 0 и " zÎ g.

Достаточность. Пусть " e> 0 $N(e): ï S_n+m(z)-S_n(z)ï < e (*) для " n³ N и " m> 0 и " zÎ g => в " zÎ g выполнен критерий Коши для числового ряда, т.е. все числовые ряды сходятся и в g определена f(z)= . Переходя в (*) к пределу при m®¥ получим ï f(z)-S_n(z)ï £ e для " n³ N(e) и " zÎ g => ï r_n(z)ï < e для " n³ N(e) и " zÎ g. n

Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса. (Мажорантный признак Вейерштрасса).

Если для " k³ N и " zÎ g |u_k(z)|< a_k, a_k> 0 и < ¥ (сходится), то => f(z) в g.

Доказательство. ï r_n(z)ï =| |£ |u_k(z)|< < e " n³ N и " zÎ g. n

п.4. Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Пусть u_k(z) Î С(g) и u_k(z)=> f(z), тогда f(z) Î С(g).

Доказательство |Df|=|f(z+Dz)-f(z)|£ |f(z+Dz)-S_n(z+Dz)|+|S_n(z+Dz)-S_n(z)|+|S_n(z)-f(z)|£

£ e/3+e/3+e/3=e для |Dz|< d, n³ N (первая и третья оценка следуют непосредственно из равномерной сходимости ряда, а вторая оценка следует из непрерывности функций u_k(z)). n

2) Пусть u_k(z) Î С(g) и => f(z). Пусть С кусочно- гладкий контур CÎ g конечной длины L: ò _Ldξ =L, тогда ò _Lf(z)dz= ò _L u_k(z)dz.

Доказательство |ò _Lf(z)dz- ò _L u_k(z)dz |=|ò _L r_n(z)dz |£ ò _L | r_n(z) | dz< e’L< en

3) Теорема Вейерштрасса. Если u_k(z) Î С^¥ (g) и => f(z), для " zÎ `g’Ì g, " `g’Ì g (любой замкнутой подобласти области g) то:

1. f(z)Î С^¥ (g).

2. f^(p)(z)= , для " zÎ g.

3. => f^(p)(z), для " zÎ `g’Ì g, " `g’Ì g.