Справочный материал к заданию. Пусть дана квадратная матрица А порядка n

Пусть дана квадратная матрица А порядка n

Ненулевой вектор Х, удовлетворяющий условию А·Х = λ ·Х называется собственным вектором матрицы А, а соответствующее ему число λ – собственным значением матрицы А.

А·Х - λ ·Х = 0, А·Х - λ ·Е·Х = 0, (А - λ ·Е)· Х = 0,

где Е – единичная матрица, а вектор Х = .

Матричное уравнение (А - λ ·Е)· Х = 0 имеет вид при переходе к покоординатному равенству:

(1)

Нас интересуют ненулевые решения однородной системы, поэтому приравняем определитель однородной системы к нулю: det (A – λ E)=0

или = 0 (2)

Левая часть уравнения (2) называется характеристическим многочленом

матрицы А: det (A – λ E). Это многочлен n – ой степени, он может иметь не более n действительных корней.

Действительные корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.

При последовательной подстановке в систему (1) для каждого λ находится ненулевое решение однородной системы (2) – собственный вектор линейного преобразования, заданного матрицей А.