Пример решения задачи. Решить системы уравнений методом Гаусса:

Решить системы уравнений методом Гаусса:

a) x ₁ + 2 x ₂ – x ₃ + х ₄ = –3 б) 3 х ₁ + 2 х ₂ + х ₃ = 5

– х ₁ – х ₂ + х ₃ – 2 х ₄ = 1 х ₁ + х ₂ – х ₃ = 0

х ₁ + 3 х ₂ – х ₃ = –5 4 х ₁ – х ₂ +5 х ₃ = 3

в) х₁ – х₂ + х ₃ + 5 х₄ = 0

3 х ₁ + 2 х₂ + 2 х ₃ – х₄ = 1.

х ₁ + 4 х ₂ – 11 х₄ = 0

Решение:

а)

C₂+C₁→ C₂ ^/ C₃- C₂→ C₃ ^/

C₃- C₁→ C₃ ^/

Получен ступенчатый вид расширенной матрицы, из которого видно, что система имеет бесчисленное множество решений: ранг расширенной матрицы системы совпадает с рангом основной матрицы системы и равен двум, а число неизвестных системы n=4 больше ранга равного 2. Выберем базисный минор – минор порядка равного рангу основной матрицы системы, отличный от нуля, например , он определяет базисные переменные х₁ и х₂, остальные неизвестные системы х ₃ и х ₄ назовем свободными и перепишем систему в виде

.

Выразим теперь базисные переменные х ₁ и х ₂ через свободные неизвестные х ₃ и х ₄:

х ₂ = –2 + х ₄ ,

х ₁ = –2 х ₂ – 3 + х ₃ – х ₄ = –2(–2 + х ₄) – 3 + х ₃ – х ₄ =

= 4 – 2 х ₄ – 3 + х ₃ – х ₄ = 1 + х ₃ – 3 х ₄.

Общее решение системы имеет вид:

(1 + х ₃ – 3 х ₄, –2 + х ₄, х ₃, х ₄), где х ₃, х ₄ Î R,

а базисное решение системы получим из общего полагая свободные неизвестные х ₃ и х ₄ равными нулю, т.е. (1, –2, 0, 0).

б)

.

Получили треугольный вид системы, т.е. последнее уравнение имеет одно неизвестное.

x ₁ + x₂ – x ₃ = 0

x ₂–4 x ₃ = -5.

x ₃ = 2

Подставим х ₃ = 2 во второе уравнение системы, найдем х ₂ :

х ₂ = –5 + 4 х ₃ = –5 + 4 · 2 = –5 + 8 = 3.

Подставим х ₂ и х ₃ в первое уравнение системы, найдем х ₁:

х ₁ = – х ₂ + х ₃ = –3 + 2 = –1.

Система имеет единственное решение

х ₁ = –1, х ₂ = 3, х ₃ = 2.

в)

Последнее уравнение полученной системы ступенчатого вида: 0 · х ₁ + 0 · х ₂ + 0 · х ₃ + 0· х ₄ = ‑ 1не имеет смысла, такая система решений не имеет, она несовместна.

Ответ:

а) система имеет бесконечно много решений вида:

(1 + х ₃ – 3 х ₄, –2 + х ₄, х ₃, х ₄), где х ₃, х ₄ Î R;

б) система имеет единственное решение х ₁ = –1, х ₂ = 3, х ₃ = 2;

в) система несовместна, решений не имеет.