Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Пример решения задачи. Даны координаты вершин пирамиды:
|
|
Даны координаты вершин пирамиды:
А 1 (2, 4, –3),
А 2 (5, 6, 3),
А 3 (–2, 7, –3),
А 4 (4, 1, 0).
Решение:
1.Покажем, что векторы 
, 
и 
образуют базис. Найдем координаты векторов
={ x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1} = {5 – 2, 6 – 4, 3 – (–3)} = {3; 2; 6},
= {–4, 3, 0}, 
= {2, –3, 3}.
Найдем смешанное произведение векторов , и
Так как смешанное произведение векторов отлично от нуля, то векторы
, 
и 
не компланарны, линейно независимы и потому образуют базис в R3.
.
2. Объем пирамиды А 1 А 2 А 3 А 4 можно вычислить, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов (см. пункт г) справочного материала).
Модуль смешанного произведения векторов (
, 
, 
) равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , как на сторонах, а объем пирамиды А 1 А 2 А 3 А 4 составляет шестую часть объема этого параллелепипеда, т.е.
(куб. ед.).
3.Угол между ребрами А1А2 и А1А4 найдем как угол между векторами 
= {3; 2; 6} и 
= {4 – 2, 1 – 4, 0 – (–3)} = {2, –3, 3}, используя скалярное произведение векторов:
(
, 
) = arccos 0, 5482 = 56°46¢.
4. Площадь грани А 1 А 2 А 3 можно вычислить, используя геометрический смысл векторного произведения векторов (см. пункт в) справочного материала). Найдем векторное произведение векторов
и 
= 
и его модуль:
.
Модуль векторного произведения векторов 
равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, а площадь грани А 1 А 2 А 3 составляет половину площади этого параллелограмма, т.е.
(кв. ед.).
5. Составим уравнение плоскости А 1 А 2 А 3. Поскольку плоскость П проходит через три точки А 1(2, 4, –3), А 2(5, 6, 3), А 3(–2, 7, –3), то согласно (2) получим:
= –18(x – 2) – 24(у -4) + 17(z + 3) = 0
или
18 х + 24 у – 17 z –183 = 0.
6. Составим уравнение высоты h, опущенной на грань А 1 А 2 А 3 из вершины А 4. Известны координаты точки А 4(4, 1, 0), через которую проходит эта прямая, искомая прямая имеет направляющий вектор 
, параллельный нормальному вектору 
= {18, 24, –17} плоскости П грани А 1 А 2 А 3. Тогда согласно (4) канонические уравнения искомой прямой:
.
Длину высоты h найдем по формуле (3)
.
Ответ:
2) 
(куб. ед.); 3) 
56°46¢;
4) 
(кв. ед.); 5) П: 18 х +24 у -17 z –183=0; 32°33¢;
6) 
.