Справочный материал к заданию. Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица из m · n чисел, расположенных в m строках и n столбцах

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица из
m · n чисел, расположенных в m строках и n столбцах

= (a_ij),

где числа (a_ij) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) называются элементами матрицы.

Матрица называется квадратной n -го порядка, если m = n.

Квадратная матрица n -го порядка называется единичной, если на ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны 0:

Матрица А ^т, получаемая из матрицы А заменой местами строк на столбцы с теми же номерами, называется транспонированной.

Суммой матриц А = (a_ij) и B = (b_ij) одного и того же размера называется матрица C = (c_ij) = A + B, где c_ij = a_ij + b_ij.

Произведением матрицы А = (a_ij) размера m × n на вещественное число l называется матрица C = (c_ij) = l A, где c_ij = l · a_ij.

Произведением матрицы А = (a_ij) размера m × n на матрицу B = (b_jk) размера n × p называется матрица C = (C_ik) = A · В размера m × p, где , т.е. элемент C_ik матрицы С размера m × p равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы k -го столбца матрицы В. В общем случае А · B ¹ B · А.

Квадратная матрица А называется неособенной или невырожденной, если ее определитель det A ¹ 0.

Определитель квадратной матрицы А = (a_ij) равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения (алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя называется умноженный на (–1) ^i+j определитель, полученный из данного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца).

Квадратная матрица А ^–1 называется обратной к квадратной матрице А, если А · А ^–1 = А^–1 · А = Е.

Если матрица

неособенная (невырожденная), т. е. det A ¹ 0, то она имеет обратную, причем единственную.

Обратная матрица вычисляется по формуле:

А ^–1 = ,

где А ^* — союзная (присоединенная) матрица к матрице А.

Чтобы найти союзную матрицу, построим сначала матрицу () алгебраических дополнений матрицы А:

,

а затем транспонируем ее и получим следующую матрицу:

Системой m -линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ + … + а _1n х _n = b ₁

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _2n x _n = b ₂

--------------------------------------

a _m1 x ₁ + a _m2 х ₂ + … + a _mn x _n = b _m

Эту систему можно записать в матричной форме:

А · Х = В, где

основная матрица системы,

матрица- столбец неизвестных, В = -- матрица-столбец свободных коэффициентов.

Система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Совместная система называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Решением системы называется всякая матрица-столбец Х, обращающая матричное уравнение А · Х = В в тождество.