Геометрический смысл векторного произведения

Модуль векторного произведения векторов и равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах:

· · sin(, ^ ).

Если векторы и заданы своими координатами: = { a_x, a_y, a_z },
= { b_x, b_y, b_z }, то векторное произведение × определяется формулой:

× =

= (a_yb_z – b_ya_z) – (a_xb_z – a_zb_x) + (a_xb_y – b_xa_y) .

Длина высоты параллелограмма, построенного на векторах и , опущенной на основание вычисляется по формуле

Г) Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется число

(, , ), равное векторному произведению [ , ], умноженному скалярно на вектор : (, , ) = ( × ) · .

Основные свойства смешанного произведения

1⁰. Смешанное произведение векторов не меняется при циклической перестановке его сомножителей: (, , ) = (, , )= (, , ).

2⁰. Если тройка , , правая, то (, , ) > 0; если тройка , , левая, то (, , ) < 0.

3⁰. , , компланарны