![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Модели матричных игр со смешанными стратегиями игроков. Свойства смешанных стратегий
Рассмотрим матричную игру:
Обозначим через
Упорядоченное множество р = ( Упорядоченное множество q = ( Применение смешанных стратегий p и q игроками А и В означает, что игрок А использует стратегию
Функция f (p; q) называется платежной функцией игры с матрицей Смешанные стратегии
для любых стратегий Значение В седловой точке Рассмотрим игру с матрицей Теорема 6.2. Для того, чтобы смешанные стратегии
Кроме того, смешенные стратегии удовлетворяют еще следующим теоремам. Теорема 6.3. В смешанных стратегиях любая конечная матричная игра имеет седловую точку. Теорема 6.4. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равным цене игры независимо от того, какую стратегию применяет другой игрок, если только тот не выходит за пределы своих активных стратегий. Активные стратегии – это чистые стратегии игрока, входящие в оптимальную смешанную стратегию с вероятностями, отличными от нуля. Из теоремы 6.2 вытекает принципиальное решение матричной игры: надо найти неотрицательное решение (
Отметим, что число активных стратегий игроков не превышает наименьшего из чисел m и n. Решение матричной игры можно упростить, если воспользоваться доминированием одних стратегий над другими. Говорят, что стратегия Аналогично и для столбцов: если элементы l -го столбца не превосходят соответствующих элементов r -го столбца: Если Пример 6.3. Выполнить возможные упрощения платежной матрицы:
Решение. Элементы первой и третьей строки соответственно равны. Поэтому одну из них можно удалить. Элементы второй строки не превышают соответственно элементов первой строки, поэтому удаляем вторую строку и приходим к матрице Элементы первого столбца преобразованной матрицы больше соответствующих элементов второго столбца, элементы второго столбца больше соответствующих элементов третьего столбца; элементы третьего столбца больше соответствующих элементов четвертого столбца. Поэтому доминируемые первый, второй и третий столбцы опускаем. В результате получаем матрицу
Сравнивая строки полученной матрицы, заключаем, что элементы первой строки больше соответствующих элементов второй строки. Следовательно, первая строка является доминирующей. Опуская вторую строку, получаем матрицу Теорема 6.5. Пусть Воспользовавшись этой теоремой матрицу:
можно упростить. Сначала разделить элементы матрицы на 100, а затем прибавить к полученным значениям 2:
элементы последней матрицы получены по формуле:
|