![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Решение моделей матричных игр сведением к паре взаимно двойственных линейных оптимизационных моделей
Выше установлено, что если игра имеет седловую точку, то решение ее лежит в области чистых стратегий: оптимальными будут максиминные (минимаксные) стратегии, а ценой игры – седловой элемент матрицы игры. Оптимальные же смешанные стратегии для игр без седловых точек можно получить, решая систему и линейных уравнений:
Этот путь нерационален, так как связан с большим объемом вычислений. Покажем, что решение любой конечной матричной игры может быть сведено к решению линейной оптимизационной модели. Пусть игра задана матрицей Найдем сначала оптимальную смешанную стратегию
Разделим обе части неравенств на v, получим:
Обозначив
будем иметь:
Кроме того,
Игрок В стремится сделать свой проигрыш
Учитывая выше сказанное, приходим к линейной оптимизационной модели, записанной в симметричной форме: максимизировать линейную функцию
при линейных ограничениях:
Решив ее, найдем оптимальный план
Аналогично можно построить еще одну линейную оптимизационную модель для определения оптимальной смешенной стратегии игрока Минимизировать функцию:
при ограничениях:
Решая ее, найдем оптимальный план:
Модели (6.8)-(6.10) и (6.11)-(6.13) образуют пару двойственных линейных оптимизационных моделей. Найдя решение одной из них, решение другой находим из строки целевой функции последней симплексной таблицы, воспользовавшись соответствием между переменными:
При решении матричных игр размерностью Пример 6.4. Найти решение игры с матрицей
Решение. Найдем сначала оптимальную смешанную стратегию Для этого составим линейную оптимизационную модель: найти план
и который удовлетворяет ограничениям:
Эту модель решаем симплекс-методом. Сначала вводим неотрицательные вспомогательные переменные
Составляем первую симплексную таблицу
и находим решение в следующих симплексных таблицах:
В последней симплексной таблице получено оптимальное решение:
Цену игры и компоненты оптимальной смешанной стратегии
Таким образом, Аналогично строим модель для определения оптимальной смешанной стратегии игрока А.
Преобразуем модель к каноническому виду, вычитая вспомогательные неотрицательные переменные
Решение этой модели находим, воспользовавшись соответствием между переменными исходной и двойственной моделей:
Оптимальное решение двойственной модели находим из последней симплексной таблицы, учитывая соответствие между переменными: Таким образом, оптимальная смешенная стратегия игрока
Пример 6.5. Два банка
Предположим, что потери банка банка Решение. Предположим, что банк Решим игру в чистых стратегиях. Для этого составим платежную матрицу:
Из матрицы видим, что Составим математические модели для каждого игрока, предварительно упростив матрицу: разделим все элементы платежной матрицы на 5 и вычтем из полученных элементов 4. Получим матрицу
Для игрока
Преобразуем модели к канонической форме записи, вводя вспомогательные переменные Решим двойственную модель (модель игрока
Составим симплексную таблицу:
Последовательно преобразуем первоначальную симплексную таблицу:
В последней симплексной таблице содержится оптимальный план: Применяя формулы
Таким образом, применяя свою смешанную стратегию Следовательно, из общей суммы средств Лекция 7 Экономико-математические методы и модели финансов и кредита (продолжение) Вопросы, изучаемые на лекции:
7.1. Статистические модели в сфере финансово-кредитной деятельности 7.2. Правила выбора оптимальной стратегии
|