Кривые второго порядка. Их канонические уравнения

Кривые 2-го порядка определяются ур-ниями 2-й степени относительно прямоугольной декартовой системы координат. Общее ур-ние имеет вид:
, где

Th1: Любое уравнение 2-го порядка вида при условии задает на пл-ти либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу, либо пару пересекающихся прямых, либо пару параллельных прямых, либо прямую, либо .

Определение. Если ввести новую сис-му корд-т, совершив поворот осей на угол и подходящей перенос начала коод-т, то ур-ние любой невырожденной кривой 2-го порядка м.б. приведено с следующим каноническим видам:

Эллипс — мн-во точек на пл-ти, для которых сумма расстояний от каждой до фокусов равна .

и — большая и малая оси, — фокусы, , — эксцентриситет, для окружности , — фокальные радиусы, — фокальный параметр, — уравнение директрис и .

Гипербола — мн-во точек на пл-ти, для которых модуль разности расстояния от фокусов равены .

и — действительная и мнимая оси, — фокус, — фокусное расстояние, , — эксцентриситет, — фокальные радиусы, — фокальный параметр, — уравнение директрис и .

Парабола — мн-во точек на пл-ти, каждая из которых равноудалена от фокуса и директрисы параболы .

— эксцентриситет — фокальный радиус.

Уравнения вырождающихся кривых м.б. приведены к видам:

— две мнимые пересекающиеся прямые, точка;

— две пересекающиеся прямые;

— пара параллельных прямых;

— две совпадающие прямые;

— , мнимый эллипс