Линейные операторы и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Нормальные формы матрицы линейного оператора

Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому каждому элементу x e X ставится в соответствие единственный элемент y eY, называется оператором, действующим в линейных пространствах X, Y. Результат действия оператора A на элемент x обозначают y = A x или
y = A(x). Если элементы x и y связаны соотношением y = A x, то y называют образом элемента x; элемент x прообразом элемента y.

Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора и обозначают D(A).

Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения оператора A, называют образом оператора и обозначают Im(A). Если y = A x, то x eD(A), y eIm(A).

Оператор A, действующий в линейных пространствах X, Y называется линейным оператором, если

и для любых и для любого числа α. Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пр-ве X.
Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n и пусть e₁, e₂,..., e_n - базис в X. Обозначим через A e₁ = (a₁₁,..., a_n1),..., A e_n = (a_1n,..., a_nn) образы базисных векторов e₁, e₂,..., e_n.

Матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей A.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e₁,..., e_n} к базису e' = {e'₁,..., e'_n}. Связь между матрицей A_e оператора A в базисе e и матрицей A_e' этого оператора в базисе e' задается формулой

Здесь - матрица перехода от базиса e к базису e' и обратная к ней.

Опр 2: Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию

А(х)=lх, называется собственным вектором преобразования A. Число l называется собственным значением. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:

Ах=lх, где A – матрица преобразования, x – координатный столбец.