Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Размерность

Пусть ― ― произвольное поле, . Мн-во будем называть векторным (линейным) пр-вом над полем , если определены две операции:
«+»: , которое ставит в соответствие паре и удовл. след. усл-ям:

1) коммутативность, ;

2) ассоциативность, ;

3) нейтральный элемент , т.ч. ;

4) обратный элемент , т.ч. .

«»: , которое ставит в соответствие паре , которая наз-ся умножением вектора на скаляр и удовл. след. усл-ям:

1) ассоциативность умн-я на скаляр, ;

2) дистрибутивность умн-я на скаляр, ;

3) ;

4) .

Линейная зависимость. Сис-ма векторов наз-ся линейно зависимой, если коэф-ты , среди которых хотя бы один , что вып-ся усл-е: .

Линейная независимость. Сис-ма векторов наз-ся линейно независимой, если из того, что лин. комбинация .

Критерий линейной зависимости.
Сис-ма векторов линейно зависима 1)хотя бы один вектор явл. комбинацией всех остальных; 2) хотя бы один вектор выражается через предыдущие (где ).

Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейна зависима.

Базис. Конечная упорядоченная линейно независимая система векторов наз-ся базисом пр-ва , если другой вектор , явл-ся лин. комбинацией этих векторов.

Опр. Если в пр-ве , есть базис, пр-во наз-ся конечномерным.

Th. вектор единственным образом выражается через базис.

Коорд-ми в-ра в базисе наз-ся коэф-ты разложения по базису: ,

Координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих коэф-тов.

Координаты произведения вектора на число равны произведению числа на координаты

Число векторов, входящее в базис наз-ся размерностью пространства .

2. Теория звука. Волновое уравнение Движение сжимаемой среды, представляющее собой малые возмущения некоторого равновесного состояния газа, изучается в акустике. Под теорией звука будем понимать малые возмущения среды по отношению к основным величинам.

Запишем уравнения движения среды:

Уравнение состояния

Если − изоэнтропическое течение − уравнение адиабаты Пуассона

Возмущения малы

Преобразуем уравнение неразрывности: (так как )

, так как в силу осн. ур-ния

Покажем, что возмущенное движение является потенциальным

по теореме Томпсона

− для несжимаемой жидкости

используя уравнение состояния (*)

− волновое уравнение.

Малые возмущения покоящегося баротропного газа удовлетворяют волновому уравнению.