Разностные схемы для ур-й мат физики. Явные и неявные разностные схемы, условия их устойчивости. Метод прогонки

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности. В области , нужно найти решение дифференциального уравнения:

(1) , (2)

(3)

Функции - считаются заданными. Введём сетку по с шагом и сетку по переменной с шагом

Для функции , определённой в узлах сетки введём обозначения:

; ; ; ; Частично в дальнейшем индексы будем опускать и обозначать: ; ; ; Рассмотрим шаблоны, по некоторым будем строить разностные уравнения, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1)

1. Явная схема	2. Чисто неявная схема
3. Симметрическая схема	4. Трёхслойная схема

Для построения разностной схемы используется шаблон , , , . в точке заменяем разностным отношением , в точке заменяем разностным отношением .Правую часть заменяем приближённой функцией , где в качестве можно взять одну из следующих функций : , .

В результате такой замены получим разностное уравнение (4)

Под разностной схемой понимается совокупность разностных схем аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во внутренних точках и дополнительные начальные и граничные условия в граничных узлах сетки. Разностную схему будем называть разностной задачей. В данном случае разностная задача имеет вид:

; ;

; ; (5)

;

Разностная задача (5) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных равных количеству уравнений. Решения такой задачи нужно находить по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями , ; ; .

Если решение на n-ном слое известно , то решение на слое находится по явной формуле

; (6)

значения ; доопределяются из граничных условий.

Исходя из формулы (6) получается разностная схема и называется чисто явной разностной схемой.

Погрешность разностной задачи (5) определяется как разность между решением задачи (5) и решением задачи (1)-(3) в точке .Подставим в разностную систему (5). Для погрешности получаем разностную задачу:

; ;

; ; ;

- погрешность аппроксимации разностной задачи (5) на решение задачи (1)-(3)

Покажем, что явную разностную схему можно применять в случае если , то есть шаг по времени оказывается достаточно малым. Часто используют метод гармоник. Он заключается в том, что рассматривается однородное разностное уравнение, соответствующее уравнению (5)

(8)

При этом решение разностного уравнения (8) ищется в виде (9)

Здесь - мнимая единица, - произвольное любое действительное число, - число подлежащее определению. Подставляя (9) в (8) и сокращая на , получим откуда получаем , где (10)

Обозначим через начальное условие .Если для некоторого числа множитель станет больше единицы, то решения вида (10) будут неограниченно возрастать при , то в этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым. Если для всех , то все решения вида (9) будут ограниченны и в этом случае разностное уравнение (8) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение задачи (5) по формулам (6) почти невозможно, так как погрешность округления внесённых в начальный момент времени будут неограниченно возрастать при неограниченном возрастании . Такие разностные схемы называются неустойчивыми. Разностные схемы устойчивые лишь при некоторых ограничениях на отношение шагов по пространству и времени называются условно устойчивыми. Разностные схемы, устойчивые при любых шагах и называются абсолютно устойчивыми.