Решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье

Рассм. ДУ колебаний струны:

(1), f(x, t) – зад. непр. ф-ция

Рассм. соотв. однор. ур-е: (2) и зад. однор. усл.: , если ГУ в (1) делаем замену так, чтобы ГУ замкнулись.

Допустим, что ГУ однор:

Тогда реш. ещем в виде:

U(x, t)=T(t) X(x) 0, t.k. мы ищем ненулевое реш.

подставим в (2)

получаем решение:

Для нахождения использ. однор. усл., налож. на U(x, t):

Например:

Задача определения параметра свелась к задаче о розыске собств. чисел. и собств. ф-ций X(x), кот. удовл. этому с заданными ГУ.

Если изначально ур-е (1) было задано однор., тогда бы считалось (для опр-ти.), что каждому (а мы получили считанное мн-во собств. чисел. и соотв. им собств. ф-ций ) соотв. только одно решение (4) . Тогда реш. исход. ур-я будут: U_k(x, t)=X_k(x)T_k(t) общее реш. данной задачи м.б. представлено в виде бескон. ряда с произв. коэфф. С_k:

Коэфф. С_k подбираются так, чтобы получить решение удовл. и неоднород. усл.:

Если изв. зад. ф-ция при t=0

Отсюда найдем С_k.

Если с-ма (1) неоднор.: получим семейство ф-ций . Реш. ур-ия (1) ищем в виде ряда по собств. ф-циям

Имеем =

Для рав-ва достаточно, чтобы

Отсюда м. найти все . Для их однозначного определения надо знать неоднород. условия, положен. на U(x, t).