Решение смешанных задач для уравнения теплопроводности методом Фурье

Подсчитаем баланс тепла в любом объеме за промежуток времени . - граница объема , - внешняя нормаль. Количество тепла, которое поступает через поверхность в объем :

- коэффициент теплопроводности, - температура. Теорема Остроградского-Гаусса:

. За счет тепловых источников в объеме возникает дополнительное количество тепла. Т.к. температура в объеме за время повысилась на величину . Для этого необходимо затратить количество тепла . - удельная теплоемкость, - плотность среды. .

, где - интенсивность внутреннего источника. Получим , значит . В силу произвольностьи объема : - д.у. теплопроводности при наличии внутренних источников тепла. , , , . Если среда изотропна, т.е. и , константы, то получим , - коэффициент теплопроводности, - интенсивность внутренних источников. Соответственно рассмотрим следующие случаи граничных условий (ГУ) к задаче теплопроводности. Например, для конечного стержня

1) ГУ на границе тела или задана температура

или

2) ГУ: на границе тела или задан градиент температуры

или

, , где и - плотность теплового потока.

3) ГУ: на границе тела или

, или

, - коэффициенты теплообмена.

4)ГУ: обычно встречается при идеальном тепловом контакте неоднородной среды.

ГУ отражают тот факт, что температуры и градиенты температур в плоскости контакта равны между собой. Физически это означает условие непрерывности температуры и теплового потока на границе .

Задача Коши. Это задача, когда к заданным ГУ добавляют начальные условия (НУ). Для всех ГУ (1-4) в данном случае НУ будут одни и те же