Классификация линейных уравнений в частных производных 2-ого порядка. Примеры уравнений основных типов

Опр.1. Уравнением с частными производными называется называется выражение вида: (1), где F(~) – заданная функция, - искомая функция. Порядком уравнения называют наибольший порядок частной производной, входящей в уравнение (1).

Опр.2. Уравнение (1) называется линейным, если функция F линейна относительно искомой функции u и всех ее производных.

Линейное уравнеение 2-го порядка с частными производнымии имеет вид: (2), где , , c(x) – коэфф-ты, а f(x)- правая часть.

(3) Переписали (1) для линейного уравнения 2-го порядка в частных производных (F - линейная).

Опр.3. Уравнение (3){(1)} называется квазилинейным, если функция F линейна относительно старших производных.

Общий вид квазилинейного уравнения 2-го порядка:

()

Опр.4. Квазилинейное уравнение называется, почтилинейным, если его коэффициенты зависят лишь от независимых переменных.

Почтилинейное уравнения 2-го порядка:

()

Примеры: 1) , , пространственные переменные, t – время, .Это уравнение описывает колебательный процесс.

При n=1 это уравнение колебания струны, а при n=2 – мембраны.

Перепишем (2) в виде (коэффициенты не зависят от х)

(4)

обозначим:

Поставим в соответствие (4) характеристическую форму (5)

(5) с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду: , (6)

Это преобразование не единственно, но всилу закона энерции квадратичной функции кол-во сохраняется.

Предположим что ур-ние (4) с помощью некоторого невырожденного преобразования можно привести к виду: (7)

Тогда (7) называется каноническим Видом (4).

Классификация:

Обозначим r - число , s - число

r+s=n, т.е. все коэф-ты либо 1, либо -1.

1а) либо r=0, либо s=0 Þ (4) называется эллиптическим.

1b) r¹ 0, s¹ 0 Þ (4) называется гиперболическим, при этом, если r=1, либо s=1, то (4) называется нормально гиперболическим (струна, мембрана). Иначе (4) называется ультрагиперболическим.

r+s< n, т.е. есть Þ (4) называется параболическим (уравнени теплопроводности).

2а) Если r=0 или s=0, то уравнение называется эллиптико-параболическим.

2b) Если r¹ 0 или s¹ 0, то уравнение называется гиперболо-параболическим.