Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка граничных задач. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Функции Грина

Уравнением Лапласа называется уравнение , где - Лапласиан.

В Декартовых координатах

Уравнение Лапласа самое простое из эллиптических уравнений. Если -уравнение Пуассона, это неоднородное уравнение Лапласа, которое получается при наличии источников тепла.

Дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Уравнение Лапласа имеет бесконечное множество решений. Для уравнения Лапласа ставятся следующие краевые задачи.

Найти функцию , гармоническую внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью , и удовлетворяющую граничным условиям , где и - функции, заданные на границе . При постановке краевых задач начльные условия отсутствуют в уравнениях эллиптического типа. Задача Дирихле.

Найти функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью , и принимающую на границе заданные значения .Задача Неймана.

Требуется найти решение уравнения в некоторой области пространства, на границе которой задана внешняя нормальная производная .

1) как внешняя, так и внутренняя задачи Дирихле для уравнения Лапласа имеет не более одного решения.

2) Решение внутренней задачи Неймана в пространстве, внешней и внутренней задачи Неймана на плоскости не единственно, определяется с точностью до постоянного слагаемого. Решение внешней задачи Неймана в пространстве единственно.

Решение уравнения Лапласа (в сферических координатах) будет определятся из д.у. . Интегрируя это уравнение, находим . Полагая, например, =1, , получим - фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве.

В цилиндрических координатах уравнение Лапласа имеет вид . Полагая , получаем . Или , которое называется фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

1-ая формула Грина. , где ,

2-ая формула Грина