Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Метод Крамера

Опр. М-ца размерности (, ) – это таблица, которая заполнена числами из R(действ. числа) или C(комплекс.):

, , . - мн-во всех м-ц разм. на поле вещ. чисел.

М-цы размерности называются квадратными; - вектор-строка; - вектор-столбец; - нулевая м-ца (все эл-ты - нули); - единичная м-ца.

Операции над матрицами:

1. сложение:

,

Св-ва: коммутативно, ассоциативно, является нулем для сложения, м-ца обладает противоположной , т.е. .

2. умножение:

производится по правилу «строка на столбец»:

, ,

Част. случай: , , , .

Св-ва: (ассоц.); , - размер. ; , ; , .

3. умножение на скаляр:

, ,

Св-ва: ; ; ; .

4. транспонирование:

,

, ,

Св-ва: ; ; .

, . Определитель м-цы A обозначается , или .

Пр-ры: n=1: - число; n=2: и т.д. Опр-ль м-цы A = сумме своих членов. Член опр-ля -произв. эл-в м-цы A, взятых по 1-му из кажд. стр. и кажд. столб. со зн. + или -. Пусть из 1-й стр. в член опр-ля взят эл-т , из второй - и т.д. Из опр-я члена опр-ля - перест. . И наоборот, кажд. перест. дает член опр-ля. , где - кол-во инверсий в этой перест. И: Опр. .

Основные св-ва определителей: (все написанное ниже верно и для столбцов)

Th. 1 (вынес-е общ. множ. из строки). Пусть B получена из A умножением всех эл-в какой-либо (одной) строки на число , то .

Д-во: /т.к. , при / .

Th. 2 (расщепл. по стр.). Пусть i-я стр. м-цы A имеет вид: , ,..., . Тогда , где B получ. из A зам-й ее i стр. на стр. , а C – зам-й i стр. на стр. . (Верно и для случ. > 2-х слаг-х).

Д-во: при , /раскр. скобки и груп./ .

Th. 3 Если в A две строки пропорциональны, то .

Д-во: Пусть проп. i и k стр. м-цы A, т.е. , . Достат. д-ть, что , если в A две =-е стр., т.к. по Th «вынесение общего множит. за скобки»:

.

Идея док-ва: , (i< k). Из усл. Th члены опр-ля расп-ся на пары взаим. обр-х вида: .

, т.к. , .

Th. 4 М-ца B получ. из A прим-м элем. пр-я (к i стр. + k, *-я на ч. ), тогда . Д-во: =/Th «расщ-е по стр.»/= =/Пред. Th/ = .

Th. 5 Опр-ль м-цы меняет знак при перест. 2-х строк.

Д-во: .

Th. 6 Опр-ль трансп. м-цы = опр-лю исх. м-цы: . (, что все св-ва опр-й, полученные выше для строк, справедливы и для столбцов).

Th. 7 (произв. квадрат. м-ц). , А и В – квадр. м-цы одного порядка.

Д-во: По Th 4 и Лемме ( м-цы A справ.: 1. - получ. из A, если к i стр.+ j стр., умн-ю на ; 2. - получ. из A, если к j столб. + i, умнож-й на ) , где C – произв. м-ца, P – элемент. , и - элем. По Th ( кв. м-ца A м.б. предст. в виде: , , где , - элем., а и - верх. тр. м-цы) , , и . Опр. в. тр. м-цы = *-ю диаг. эл-в , и .

Опр. . Обратная матрица к - такая , что .

Th. (критерий обратимости). Обратная м-ца к . При этом:

.

Опр. Системой линейных ур-й с неизвестными наз-ся система вида:

(1)

.........................................

- нек. числа (причем наз-ся коэф-ми, а своб-ми чл-ми), - неизв.

Рассм. cист. лин-х ур-й с неизвестными. Ее матрич. зап.: , (2)

где: , , .

Th. (правило Крамера). Если , то система (2) имеет единственное решение, которое считается следующим образом: , ,..., ,

где - опр-ль м-цы , полученной из заменой -го столбца на столбец .

Д-во: Т.к. , то . Получаем: .

Достаточно проверить, что имеет вид: .

,

/разложение по -му столбцу/ . Осталось только заметить, что (т.е. алгебраич. дополнение к позиции ) равно в м-це .

, . Отсюда , что , т.е. . Th док-на.