Численные решения систем алгебраических уравнений. Метод исключения. Метод итераций. Теорема о сходимости

Методы решения ЛАУ бывают точными и итерационными. Один из точных методов – метод исключения (метод гаусса) Дана система Ax=f (1), A=(aij), f=(fi) – заданы

(2)

Выбираем в каком либо уравнении ненулевой коэфициент при неизвестной, и делим на него все уравнение. Без ограничения общности, пусть это будет коэф. X11

Далее для исключения х11 из остальных уравнении системы умножим первое уравнение последовательно на х21 х31 х41 и тд и вычтем из соответствующих уравнений.

Получим систему с n-1 неизвестным, с n-1 уравнениями (без первого уравнения). Подвергнем ее аналогичному преобразованию.

Пусть m – последний возможный шаг по данной схеме.

А) m=n тогда xn=fn и

(3)переход от 2 к 3 – переход Гаусса

из 3 можно последовательно выразить все xi – обратный ход Гаусса.

Б) m< n

если все fm+1...fn ==0 то система имеет множество решении и мы можем выразить x1...xm через xm+1...xn. В противном случае система не имеет решении.

Метод итерации. Дана система уравнении Ax=f, det A! =0, A> 0 (Ax, x)> 0

Запишем систему в каноническому виде x= (x)

преобразование => ) (4)

итерационный процесс строится по правелу xn+1= (xn)

H() = - называется матрицей перехода к следующему шагу.

Xn – итерационная последовательность.

- погрешность метода

Теорема о сходимости: пусть xk – итерациооная последовательность. Построенная по методу (4). - стационарный параметр, х0 – любое начальное приближение. Тогда для сходимости xk к x* достаточным является: . При этом сходимость линейная.