Численное решение ОДУ. Метод Рунге-Кутта

Рассмотрим задачу коши для ОДУ: (1)

Известны условия существования и единственности решения:

f_i непрерывны по всем своим аргументам в замкнутой области D и удовлетв. Условию Липшица по аргументам y_1....y_n т.е.

Метод Эйлера: разбиваем область интегрирования сеткой x_i=x₀ + ih

Формула метода эйлера: где z_k – численное приближение y(x_k)

Погрешность данного метода: , где M-показатель погрешности аппроксимации, - погрешность округления, B – константа из усл.Липшица

Методы Рунге-Кутта: характеристика метода

1) методы нечувствительны к сетке (она м.б. равномерной и не равномерной)

2) точность м.б. любой

3) методы универсальны и легко адапт. к любым задачам

4) методы одношаговые

разбиваем область инт-ния сеткой x_i=x₀ + ih связь между значениями функции в 2 соседних узлах.

(2) откуда

вводим наборы параметров:

,

По заданным и находим параметры k, затем строим такую линейную комбинацию: (2)

Метод 1-го порядка точности: (совпадает с методом Эйлера)

r=1, тогда (2) принимает вид погрешность

Метод 4-го порядка точности:

Этот метод является наиболее часто используемым методом при решении задачи Коши