Численное решение ОДУ. Метод Рунге- Кутта

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) и начальное условие (2)

Здесь – непрерывно дифференцируемая функция

Предположим, что решение задачи (1), (2) существует и единственно, и обладает необходимыми условиями гладкости. Выберем равноотстоящую сетку:

Связь между двумя соседними значениями функции дает следующее очевидное равенство: (3). Перепишем формулу (3) в соответствующем виде:

Обозначим и, учитывая (1), используя замену последнее равенство можно переписать в виде: (4)

Введем три набора параметров:

С помощью параметров и составим величины:

Если параметры и выбраны, то значения вычисляются последовательно.

С помощью параметров нам удастся создать такую комбинацию величин, которая будет являться квадратурной суммой и позволит найти приближенное значение интеграла (4): (5).

Величины представляют собой погрешность приближенного равенства (5).

Запишем разложение в ряд Маклорена: (6)

Если удастся выбрать так, что а то погрешность в формуле (5) будет величиной порядка

1. (7)

порядок или степень точности данного метода типа Рунге-Кутта. Для построения по методу Рунге-Кутта при данном одношаговых правил возможно более высокого порядка точности выражают величины

выбираются исходя из требования, чтобы разложение (8) и разложение линейной комбинации совпадали для до членов с возможно более высокими степенями