Двумерное стационарное движение газа. Уравнение Чаплыгина

Рассмотрим двумерные стационарные течения газа.

Ур неразрывности:

Ур движения:

Система незамкнута, поэтому добавим ур адиабатичности:

Если течение осесимметричное , то оно не зависит от . В этом случае

Ур неразрывности , если =1 –плоское, =2 – осесимметричное.

Остальные уравнения остаются прежними.

Теперь введем функцию тока :

Движение удобно рассматривать в естественной системе координат.

Установим связь.

В дальнейшем будем рассматривать

- плоскость годографа.

Возьмем . Тогда:

Уравнения движения: энтропия постоянна вдоль линии тока. Система замкнута, неизвестны

Чтобы получить уравнение Чаплыгина, рассмотрим потенциальное двумерное стационарное установившееся течение. Вихри отсутсвуют,

Вводим потенциал: . Введем функцию (1)

В дальнейшем будем пользоваться ур неразрывности сжимаемой среды .

Переходим от описанным ранее способом.

Найдем : (1)

Подставляя (2) и выражения для в

Чтобы получить ур, определяющее , используем: где Домножим на и получим Из уравнения Эйлера вдоль линии тока Подставив последнее в (*), получим уравнение Чаплыгина:

В общем случае решается методом разделения переменных.