Направление вогнутости графика функции: достаточные признаки направления вогнутости.

1) Рассмотрим функцию y=f(x). Пусть - внутренняя точка области определения, и существует конечная , тогда существует касательная в точке и уравнение касательной имеет вид:

Определение1: Если точки графика при лежат в верхней (нижней) относительно касательной, полуплоскости, то говорят, что график в направлен вогнутостью вверх (вниз). Если же с одной стороны от точки графика лежат в верхней полуплоскости, а с другой стороны в нижней, то в точке график имеет перегиб.

Определение 2: Введем вспомогательную функцию В точке r(x)=0. В остальных разность между точкой графика и касательной, если r(x)> 0 то вогнутость вверх.

Определение 1': График функции в направлен вогнутостью вверх, если r(x) имеет в точке минимум, и вогнутостью вниз, если в максимум, и в точке будет перегиб, если r(x) монотонно возрастает (убывает).

2) Признаки направления вогнутости и точек перегиба графика функции.

Теорема1: (первый достаточный признак направления вогнутости)

Если: 1) строго возрастает в , то в вогнутость строго вверх

2) строго убывает в , то в вогнутость строго вниз.

Док-во: По условию, случай 1 при переходе через меняет знак с минуса на плюс, а в самой r(x) в имеет минимум => (по определению ) означает вогнутость строго вверх.

Теорема2: (второй достаточный признак направления вогнутости)

Если , то в вогнутость строго вверх, если - строго вниз.

Док-во: Пусть строго возрастает в , по теореме1.

Теорема3: (третий достаточный признак)

Если , а и конечна, то при n - нечетном, в точке строгий перегиб, а при n - четном график направлен вогнутостью строго вверх, при , вниз при .

Док-во: , , и конечна, тогда согласно теореме (о 3ем дост признаке экстремума) имеем, что при n - нечетном, получаем что r(n)- монотонна, т.е. в строгий перегиб, при n - четном, r(x) имеет экстремум: в минимум, т.е. вогнутость вверх, если , максимум => вогнутость вниз.