Правило Лопеталя

1) При вычислении пределов, встречаются неопределенности разных типов: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) .

Принципиально все эти неопределенности сводятся к (1) f(x)+g(x)= = : ) можно рассмотреть один основной случай.

2) Теорема1: Пусть f(x) и g(x) определены на [a, b] , и:

1) конечные

2) g(x) и не равны 0 в точке а

3)

тогда, (1)

Доказательство: Так как и конечны, то функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а, тогда в силу непрерывности и условия 3 имеем , , так как , то в некоторой окрестности точки а так, что отношение = ( )= , получаем что, .

Пример:

=

Если одновременно выполняется что, , то можно воспользоваться теоремой2.

Теорема2: Пусть f(x) и g(x) определены в < a, b> и,

1) конечные производные f(x) и g(x) до n-1 порядка, включительно, в < a, b>

2)

3) ,

4) конечные , , причем

тогда

Доказательство: Применим к каждой из функций f(x) и g(x) в промежутке [a, x] (a< x b) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, , где - бесконечно малая функция того же порядка, что и . f(x)=f(a)+ + +…+ , согласно 2 и 3 все, кроме последнего члена равно 0 .

, , так как , то g(x) тоже не равно 0, по крайней мере, в некоторой окрестности точки а, и тогда отношение имеет смысл, тогда .

Пример:

= =0.

, .

, .

, .

Теорема2 фактически говорит о том, что правило Лопеталя можно применять конечное число раз.

Теоремы1 и 2 достаточно для раскрытия неопределенности , но практически удобнее использовать теорему3.

Теорема3: Пусть f(x) и g(x) определены в < a, b>

1) конечные , причем

2) или

3) конечный или бесконечный ,

тогда .

Таким образом, теорема3 сводит предел отношения двух функций к пределу отношения производных, если последние существуют.

Часто оказывается, что нахождение предела отношением производных проще и может осуществляться элементарными методами.

Пример:

1) = = =

2) =

3) = =(Если , то еще раз применяем правило Лопеталя)=

Вывод: При логарифмическая функция возрастает гораздо медленнее, чем любая положительная степень x, а последняя в свою очередь гораздо медленнее, чем показательная.