Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Признаки монотонности и постоянства функций
1) Теорема1: Если f(x) – непрерывна на < a, b> и , то f(x)=const на < a, b>. Доказательство: Фиксируем на < a, b>, из < a, b> рассмотрим разность f(x)-f()=( По формуле конечных приращений Лагранжа)= f(x)=f() f ()=const. 2) Теорема2: Пусть f(x) непрерывна на < a, b>, тогда: 1)Если в (a, b), то f(x) возрастает (убывает) в [a, b] 2)Если в (a, b), то f(x) строго возрастает (строго убывает) в [a, b] Доказательство: Пусть ; возьмём , (a, b), рассмотрим разность (По формуле конечных приращений Лагранжа)= , так как и , то есть функция возрастает.
Геометрический смысл теоремы 2: Если , то касательная везде образует положительный (острый) угол с осью Ох, функция идёт вверх (возрастает).
Теорема3: (Необходимый признак монотонности) Если f(x) возрастает (убывает) в и , то . Доказательство: Пусть f(x) возрастает, если бы , то по Лемме (Если внутренняя точка, то при , функция строго возрастает в , а когда , функция строго убывает) что f(x) строго убывает в , что противоречит условию.
Замечание: Из того, что f(x) строго возрастает в , еще не следует что (может быть ).
|