Применение формулы Тейлора для разложения некоторых функций.

1⁰. Для разложения некоторых функций.

Все разложения будем рассматривать по формуле Маклорина.

А)

(1)

Б)

(2)

В)

(3)

Г) ; ; ; ;

(4)

(5)

Если бы , то остаточный член , включающий согласно теореме из 6.5 (n+1) производную был бы равен 0 и мы бы получили новый вывод формулы бинома Ньютона.

Замечание.

Теорема.

Если , a неприрывна в , то

(6)

где при , т.е. является остаточным членом, который называется остаточным членом в форме Пеано.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано является обобщением формулы приращения функции, т.е.

получаем из формулы (6) при n=1

Если в формулах 1, 2, 4, 5 взять в форме Пеано, то увидим, что все они дают более точные, чем известные нам ранее выражения эквивалентности функций

2⁰. Для вычисления значения некоторых функций.

Рассмотрим формулу Тейлора при с остаточным членом в форме Лагранжа

(7)

Если отбросить в (7) дополнительный член, то получим приближенную формулу

заменяющую в общем случае произвольную функцию целым многочленом. При этом можно оценить погрешность формулы, т.к. она равна по абсолютной величине отброшенному члену. Н-р: если (n+1) производная (по крайней мере при изменении аргумента от 0 до x ограничена по абсолютной величине числом М, то

Рассмотрим

тогда при x> 0

В частности при x=1

3⁰. Для вычисления пределов.

// в знаменателе б.м.ф. порядок 3, поэтому достаточно взять до 3 порядка по формуле Маклорина с остаточным членом в форме Пеано.//

4⁰. Для разложения более сложных функций.

Полученное разложение по формуле Тейлора (Маклорина) можно использовать для разложения более сложных (составных) функций.

Н-р: до x²