Дифференциал функции, его геометрический смысл.

1) Определение: Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде (1), где А-const. - линейно относительно и отличается от приращения функции на бесконечно малую величину ; поэтому - главная линейная часть приращения функции.

Определение: Если функция f(x) дифференцируема в точке , то главную линейную часть её приращения называют дифференциалом функции в точке , с приращением ; обозначается: . dy= (2)

Теорема: Утверждение, что f(x) дифференцируема в точке утверждению, что конечная , причем в 1 в роли A.

Доказательство: : Итак, функция дифференцируема выполнено 1. доказано.

Доказательство: : Пусть конечная , докажем тогда по формуле для полного приращения функции , где - конечная, - . Сравнивая с 1, видим, что функция дифференцируема, причем =А доказано.

Замечание: Так как дифференцируемость конечная , часто вместо дифференцируемость говорят производная, поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием. - дифференциал, и обозначается , поэтому с учетом теоремы:

Замечание2: Из

2) Геометрический смысл дифференциала:

Таким образом, дифференциал это

приращение ординаты касательной.

3) Связь между дифференциированностью, наличием конечной производной и непрерывностью

Если функция дифференцируема в она имеет конечную производную и поэтому непрерывна. функция непрерывна

Функция дифференциированна конечная функция непрерывна