Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции.

1) Задачи, приводящие к понятию производной.

1. Пусть материальная точка m движется вдоль направления прямой S, по закону S(t), в момент времени точка находилась в , через время (т.е. в момент времени ) точка переместилась , мгновенной скоростью движения в момент равный , назовём .

2. Пусть имеется плоская кривая l,

Определение: предельное положение секущей при , называется касательной к l в точке , т.е. если между секущей и некоторой кривой стремится к определённому пределу , при расстоянии между , то прямую проходящую через называют касательной.

Задача: Пусть кривая l задаётся функцией y=f(x), допустим, сто в точке к ней существует касательная, причем наклонная(т.е. составляет с положительным направлением оси угол ) ; , -угол наклона касательной, значит

Итак, в разных задачах пришли к решению однотипных задач.

2) Понятия.

Пусть y=f(x),

Определение: производной функции f(x) в точке наз. (вводя ) . формула(1)- физический смысл производной, формула (2)- геометрический.

Производные:

1)

2) Функция имеет смысл. Берём фиксируем ,;

3) ; ;

4) , , ;

5) ; ; ;