Производная обратной функции

Теорема: Пусть f(x): Е → R, если

1) существует однозначная, обратная и f(x) функции,

2) существует конечная производная и непрерывна, ,

то существует

Док-во: фиксируем точку , дадим ей приращение , и рассмотрим

Геометрический смысл теоремы: Рассмотрим функцию в отрезке . Обратная функция

, , ; ; ;

Производная сложной функции

Теорема: 1) Пусть y=f(x), f: E→ R, z=g(y), g: G→ R, из них составляется сложная функция. 2) Существуют конечные , тогда существует . Производная сложной функции по окончательному переменному равна произведению производной функции по промежуточному переменному на произведение промежуточного переменного по окончательному.

Док-во: рассмотрим , при этом получит , перейдет в значение равное .

Пример: , ,

Связь между существованим производной и касательной