Основные формулы и правила вычисления дифференциалов

1) Поскольку в случае дифференцированности функции , то каждая формула для вычисления производных сразу дает формулу для вычисления дифференциала.

2) Теорема: Если f(x) и g(x) дифференцируемы в , то

1)

2)

3)

Дифференциал сложной функции и его эквивалентность.

Теорема: Пусть

1) , ; z=g(y) и y=f(x)

2) f(x) - дифференцируемf в , a g(x) в , ,

тогда (1) или (2)

Доказательство: Следует из теоремы производной сложной функции.

Как видно из формулы 2, формулу для дифференциала сложной функции, где у- промежуточная переменная, такая же как и если бы у была окончательная переменная, это и есть инвариантностью(неизменностью).

Формальной разницы между формулами 1 и 2 нет, а фактическая есть:

z=g(y) y=f(x) , где

z=g(y), у- независимая переменная. , где -приращение функции.

Инвариантность часто используют при решении.

Пример:

sinx=y, , где ,