Формула Тейлора для функции.

Для функции.

Пусть y=f(x), в т. имеет все необходимые производные. Для приращения функции или

Многочлен справа дает приближение функции f(x) на величину

Многочлен обладает тем свойством, что его значение в т. и значение его первой производной в т. совпадают с таковыми для самой функции.

Возникает гипотеза, что многочлен n-ого порядка , значение которого и производные совпадают с таковыми для самой функции, даст еще большее приближение.

Такой многочлен можно расписать так:

(4)

Многочлен Тейлора n-ой степени для функции f(x) с центром в .

Теперь обозначим разницу

Получим:

т.е. (5)

Формула Тейлора для функции n-ого п орядка с центром в т и остаточным (дополнительным) членом

Теорема.

Пусть f(x) имеет производные в < a, b>, причем существует и конечна в (a, b). Тогда для остаточного члена формула Тейлора (5) для любого фиксированного справедливо:

1)

где - константа, (Форма остаточного члена Шлёмиха-Роша)

2)

Форма Лагранжа

3)

Форма Каши

Замечание 1.

Суть формулы Тейлора состоит в том, что она дает приближенное значение функции с точность до через простое выражение (многочлен) с коэффициентом, выраженным через функцию и её производные.

Замечание 2.

Форма для остаточного члена Лагранжа легко запоминается, т.к. представляет собой следующий за n-ым член многочлена Тейлора. Только производная взята не в , а в промежуточной точке

Замечание 3.

Формулу Тейлора для функции при называют формулой Маклорина

Замечание 4.

Формула Тейлора с остаточным ч леном в форме Лагранжа превращается в формулу конечного приращения Лагранжа