Экстремумы функции: достаточные признаки.

Теорема 1 (первый достаточный признак экстремума):

Пусть - внутренняя точка обл определения и непрерывна в , тогда:

1. Если при переходе через , меняет знак с плюса на минус (т.е. ), то в - строгий максимум;

2. Если при переходе через , меняет знак с минуса на плюс, то в - строгий минимум;

3. Если при переходе через , не меняет знак, то экстремума в нет, т.е. функция в монотонна.

Требование непрерывности в упускать нельзя, т.к. в этом случае утверждение может оказаться несправедливым.

При разыскивании экстремумов, исследование знака производной вблизи исследуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной вблизи самой этой точки.

Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума):

Если - внутренняя точка обл определения , производная , тогда при - строгий минимум, а - строгий максимум точку

Доказательство:

Пусть , т.к. строго возрастает в и т.к. , то при переходе функция меняет знак с минуса на плюс, а это согласно теореме 1 означает, что в точке - минимум.

Теорема 3 (третий достаточный признак экстремума):

Пусть - внутренняя точка обл определения, , а и конечна, тогда:

1. Если n – нечет, то экстремума в точке нет: функция строго возрастает, если и строго убывает если ;

2. Если n – чет, то в точке есть экстремум: строгий максимум, если и строгий минимум, если

Доказательство:

Применим для функции формулу Тейлора до n-2 порядка с остаточным членом в форме Лагранжа: согласно условию 1 остается только

Рассмотрим случаи:

а) n – нечет, тогда возрастает, т.е. поэтому при и следовательно

- чет строго возрастает в

б) n – чет, - нечет. Пусть при а при и учитывая, что - минимум. В случае - строгий максимум

Из трех признаков - первый самый сильный, в том смысле что когда второй и третий дают ответ, он тоже дает ответ, в то время, когда есть случаи когда первый признак применим а второй и третий нет.

Пример:

а)

Экстремум есть в точку =

минимум

б) при

в точке для сущ все производные причем все они равны нулю