Теорема Ферма.

Определение.

Пусть f: E→ R; ( - внутренняя для E).

f(x) называется строго возрастающей (убывающей) в т. относительно E, если и выполняется, что

выполняется, что

Лемма.

Если внутренняя точка области определения функции, то при f(x) строго возрастает в , а при f(x) строго убывает в .

Доказательство.

Пусть .

, т.е. числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки функция возрастает.

Замечание.

Лемма доказывается для внутренних точек, если бы речь шла о краевых точках, то лемма тоже сохраняется, но возрастание и убывание будут односторонними.

Теорема Ферма.(о нуле производной).

Если f(x) определена на < a, b> и принимает наибольшее (наименьшее) значение в некоторой внутренней т с, то если

Доказательство.

Пусть в c – наибольшее значение (1).

(от противного).

Пусть пусть ; значит:

a) по лемме в т. с функция возрастает т.е. (2)

что противоречит (1)

б) функция убывает т.е. (3)

что противоречит (1).

(2) и (3) противоречат (1) ч.т.д.