Дифференциалы высших порядков

1) Пусть f(x) имеет произвольные всех требуемых порядков, тогда (1), где , таким образом, dy - это функция от x, и она имеет конечную производную, то есть снова дифференцируема , (2), dx каждый раз брали одинаковый. - второй дифференциал у.

n -ый дифференциал:

2) Отсутствие инвариантности дифференциалов высшего порядка.

Рассмотрим функцию z=g(y), где y=f(x) – в силу инвариантности первого дифференциала dz можно вычислить, как и в случае если бы y - была независимая переменная.

, в свою очередь , то есть dy – функция от х.

Найдем второй дифференциал.

дифференциал первого порядка будем вычислять пользуясь инвариантностью, как будто у независимая переменная (3)

Сравнивая 3 и 2, видим, что выражения, если у – не конечная, для второго дифференциала не совпадает, в 3 мы получаем лишнее слагаемое, которое в общем случае не равно 0 второй дифференциал не обладает инвариантностью.

Частный случай:

z=g(y) y=kx+b dy=k*dx=const, то есть формулы 2 и 3 совпадут.

3) Следуя формуле для n- ого дифференциала и зная n- ую производную можно вычислить и n- ый дифференциал