В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если

а) существует наклонная касательная к графику функции y=f(x) в точке , то с уществует и конечная производная

б) докажем, что из существования существование касательной к графику функции y=f(x) в точке М.

Доказательство: Существует , , то есть в любом случае существование какой-либо производной влечет за собой существование касательной (наклонной или вертикальной).

в) Следствие: Существование наклонной касательной в существованию конечной производной .

В б) показано, что существование производной влечет за собой существование касательной, причем если производная , то касательная вертикальна, заметим, что из существования касательной еще не следует существование производной с учетом а) это относится к случаю с вертикальной касательной.

Пример:

В есть касательная Ох но производной нет.

2)Односторонние производные и касательные

Определение: Предельное положение секущей при справа(слева), называется правой(левой) касательной к графику функции y=f(x) в точке

Определение: Правой(левой) производной функции f(x) в точке называется , обозначается ; существование обычной производной (и+ и-), существованию и совпадению обеих односторонних производных.

Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.