Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Признаки открытости и замкнутости множеств
Для любого множества E, его дополнением (CE) называется множество , т.е. множество всех точек не принадлежащих E. Теорема 1: 1. Для того чтобы множество было открытым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение CE было замкнутым 2. Для того чтобы E было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы CE было открытым Доказательство: Пусть E открыто и покажем, что CE замкнуто, тогда любая точка E принадлежит E вместе с некоторой окрестностью, из этого следует, что в этой окрестности нет точек из CE, т.е. все предельные для E точки принадлежат CE отсюда следует, что CE замкнуто. Теорема 2 (критерий замкнутости множеств): Доказательство: E – замкнутое; 1) 2) , т.е. случай 2) места не имеет рассмотрим последовательность вложенных окрестностей т.к. - предельная для E, то в каждой из этих окрестностей по (3) точка , т.е. E замкнуто.
|