Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции

Теорема 1:

(о непрерывности монотонной функции)

Если: 1) монотонна на

2) область значений есть промежуток,

тогда непрерывна во всех точках предельной для нее

Доказательство:

, докажем непрерывность в точке слева и справа.

Слева (справа):

Пусть , - возрастает. По теореме о пределе монотонной функции: (1). Т.к. возрастает (2). Покажем, что в неравенстве (2) знак «» не имеет места. Пусть , тогда для (а такие есть) (3) т.к. возрастает, а для (4). Из (3), (4) следует, что функция принимает значения и не принимает значения на промежутке . Это противоречит тому, что по условию значение функции – промежуток в (2) меньше быть не может.

Лемма:

Функция обратная к строго монотонной (однозначная) однозначна и строго монотонна в том же направлении.

Доказательство:

Пусть строго возрастает на множестве . Рассмотрим обратную к ней

( - область значений ) точка . Т.к. строго возрастает, то . Возьмём из , , . Если бы , тогда - функция строго возрастает

Теорема 2:

(о непрерывности функции обратной к строго монотонной)

Функция обратная к строго монотонной, определённой на промежутке непрерывна во всех точках своей области определения.

Доказательство:

Функция определена на промежутке и строго монотонна. по лемме однозначна и монотонна на , а область значений по теореме 1 непрерывна.