Общие свойства

1 св.) Пусть непрерывна в точке относительно множества , , тогда непрерывна в точке о тносительно множества

Доказательство:

2 св.) непрерывна в точке относительно множества равносильно непрерывности функции в точке относительно

Доказательство:

По §3.4 св. 5

3 св.) Пусть , , тогда непрерывность относительно равносильна непрерывности в точке как относительно , так и

Замечание:

Если точка в св. 3 является предельной только для одного из множеств и , то непрерывность относительно равносильна непрерывности относительно именно в этой точке.

4 св.) (предельный переход под знаком непрерывности функции)

1. Если непрерывна в точке относительно ,

2. ,

тогда или

Следствие:

(теорема о непрерывности сложной функции)

1. Если непрерывна в точке относительно множества , ,

2. непрерывна в точке , ,

тогда непрерывна в точке относительно множества

5 св.) Если непрерывна в точке относительно множества , тоже непрерывная функция в точке относительно множества

Доказательство:

По §3.7 следствие теоремы о двух милиционерах

6 св.) (непрерывность результатов арифметических действий на непрерывных функциях)

Если и непрерывны в точке относительно множества , то: непрерывны в точке , относительно множества

(следует из §3.6 и определения непрерывности)

Следствие:

Многочлен и дробно-рациональные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Доказательство:

непрерывна непрерывен непрерывен. Т.к. каждый многочлен – непрерывная функция тоже непрерывна