Теоремы Больцана-Каши о промежуточных значениях

1) Определение (непрерывность на языке последовательности):

называется непрерывной в точке относительно множества , где , если

Теорема 1:

Если: 1) f(x) – непрерывна на [a, b]

2) f(x) принимает на концах промежутка значения разных знаков, тогда

Доказательство:

Пусть f(a)< 0, f(b)> 0

Точкой d рассечем отрезок ab пополам. Получим [a, d] и [d, b] в одном из промежутков функция будет меньше нуля на левом конце и больше нуля на правом. Обозначим этот промежуток . Снова рассечем его пополам. Получим

, т.к. функция в точке с непрерывна, то по определению непрерывности

2) Теорема 2:

Если: 1) f(x) – непрерывна на [a, b]

2)

Доказательство:

Введём вспомогательную функцию - непрервна

Замечание:

Ни одно из требований теоремы нельзя нарушить.