Элементы теории. Пусть дано уравнение f( x ) = 0

Пусть дано уравнение f(x) = 0. Число x называется корнем данного уравнения, если оно, будучи подставленным в уравнение, обращает его в равенство, то есть f(x) = 0. Число x называют нулем функции f(x). Нахождение корней уравнения с определенной точностью можно разделить на два этапа:

1) отделение корней, то есть установление промежутков, в которых содержится один корень уравнения;

2) вычисление корня, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.

Известно, что если функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка [ a, b ] значения разных знаков, то есть f(a)× f(b) < 0, то внутри этого отрезка найдется нуль функции.

Для отделения (или локализации) корня уравнения f(x) = 0 для непрерывной в области определения функции f(x) можно составить таблицу значений функции у = f(x) на определенном промежутке изменения аргумента х. Если для некоторых соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то нуль функции находится между ними.

Пусть дано уравнение f(x) = 0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и f(a)× f(b) < 0. Для вычислениякорня данного уравнения
x Î [ a, b ] находится середина этого отрезка x₁ = 0, 5(a+b). Если f(x₁) ¹ 0, то для продолжения вычислений выбирается та из частей данного отрезка
[ a, х₁ ] или [ х₁ , b ], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначаются а₁ и b₁. Новый отрезок [ a₁, b₁ ] снова делится пополам и производятся вычисления по изложенной схеме и так далее. В результате получается либо точный корень заданного уравнения на каком-то этапе, либо последовательность вложенных отрезков [ a, b ],
[ a₁, b₁ ], …, [ a_n, b_n ], …, таких что:

f(a_n)× f(b_n) < 0, n =1, 2, …

.

Число x - общий предел последовательностей (а_n) и (b_n) – является корнем уравнения f(x) = 0.

Оценка погрешности решения на n -ом шаге вычислений имеет вид:

,

где a_n» x с точностью .