Элементы теории. Требуется решить уравнение, представленное в виде:

Требуется решить уравнение, представленное в виде:

x = g(x),

где g(x) – непрерывная на отрезке [ a, b ] функция. С помощью алгоритма:

x_{k + 1} = g(x_k), k = 0, 1, 2, …

x_{k + 1} = g(x_k), k = 0, 1, 2, …,

получим

, то есть x = g(x).

Это значит, что x является корнем заданного уравнения. Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция g(x) имеет на отрезке [ a, b ] непрерывную производную и выполнены два условия:

1) ï g¢ (x) ï £ q < 1 при x Î [ a, b ];

2) значения функции g(x)Î [ a, b ] для любого x Î [ a, b ].

Тогда при любом выборе начального приближения x₀Î [ a, b ] процесс итераций сходится к единственному корню x.

Оценка погрешности k -го приближения к корню x имеет вид:

,

где .

Пусть необходимо решить уравнение f(x) = 0. Это уравнение для любого l ¹ 0 равносильно уравнению x = g(x), где g(x) = x + l f(x). Пусть
f¢ (x) > 0 и непрерывна на [ a, b ]. Обозначим , , , и рассмотрим функцию:

.

Для этой функции выполняются достаточные условия сходимости итераций, в частности, условие 1 теоремы вытекает из следующих неравенств:

0 < m £ f¢ (x) £ M,

для любого x Î [ a, b ].

Если вычисление точного значения числа затруднительно, то можно заменить его произвольным числом М₁ > М. Следует учитывать, что при большом М₁ число ближе к единице и процесс итераций сходится медленнее.

При нахождении корня уравнения x = g(x) с заданной точностью e или при оценке погрешности k -го приближения можно воспользоваться следующей приближенной оценкой:

.

Если , то вместо уравнения f(x) = 0 надо использовать равносильное уравнение - f(x) = 0. Тогда вспомогательная функция имеет вид g(x_k) = x_k - l f(x_k).